La forma más sencilla de hacer responsive los vídeos de youtube o vimeo en nuestras webs con CSS. Basta con insertar el iframe dentro de un elemento contenedor con las siguientes 2 clases css:

pd: el porcentaje de 56.25% sale del aspecto 16:9 = (9/16)*100

Ejemplo de vídeo responsive de Vimeo:

Ejemplo de vídeo responsive de Youtube: